드 무아부르 법칙, 복소수 거듭제곱 3초 만에 푸는 치트키 (공식 간단 정리)

고등학교 수학이나 대학 미적분학을 공부하다 보면 복소수(Complex Number) 파트에서 갑자기 벽을 만나는 순간이 있습니다.

바로 복소수를 10제곱, 100제곱 해야 하는 문제를 만났을 때입니다.

(1 + i)¹⁰

같은 식을 보고 “설마 이걸 일일이 10번 곱하라는 건가?”라며 당황하신 적 있으신가요? 그냥 전개하다가는 밤을 새워도 모자랄 겁니다.

이때 구세주처럼 등장하는 공식이 바로 드 무아부르의 법칙(De Moivre’s Theorem)입니다.

1. 드 무아부르 법칙이란?

복소수를 극형식(Polar Form)으로 나타냈을 때, 거듭제곱을 아주 쉽게 할 수 있게 해주는 정리입니다.

어떤 복소수 z가 다음과 같을 때

z = r(cos θ + i sin θ)

이 수를 n제곱하면 다음이 성립합니다.

zⁿ = rⁿ (cos(nθ) + i sin(nθ))

특히 r = 1인 경우

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)

핵심 포인트

• 크기(절댓값)는 n제곱
• 각도(편각)는 n배

즉, 복잡한 전개 없이 “각도에 n만 곱해주면 끝”입니다.

2. 예시

크기가 1이고 각도가 30°인 복소수 z가 있다고 합시다.

z = cos 30° + i sin 30°

이를 3제곱하면

z³ = cos(3 × 30°) + i sin(3 × 30°)

z³ = cos 90° + i sin 90° = i

각도만 3배 돌리면 끝입니다.

3. 확장

① 음의 정수

(cos θ + i sin θ)⁻ⁿ = cos(−nθ) + i sin(−nθ)

② 유리수(분수)

복소수의 n제곱근 문제로 확장되며, 해는 복소평면 위에서 정다각형을 이루게 됩니다.

드 무아부르 법칙은 대수학과 기하학을 연결하는 아주 아름다운 공식입니다.